Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Даны положительные рациональные числа <i>a, b</i>. Один из корней трёхчлена  <i>x</i>² – <i>ax + b</i>  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^<i>m</i>/_<i>n</i>.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел <i>a</i> и <i>b</i> (в несократимой записи) не меньше <i>n</i>^2/3.

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.

Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.

Назовём натуральные числа <i>похожими</i>, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

В числе  <i>a</i> = 0,12457...  <i>n</i>-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109196/problem_109196_img_2.gif">  Докажите, что α – иррациональное число.

Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2^<i>n</i>.

Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

Прибор для сравнения чисел  log<i>_ab</i>  и  log<i>_cd</i>  (<i>a, b, c, d</i> > 1)  работает по правилам: если  <i>b > a</i>  и  <i>d > c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_a^b</i>/_<i>a</i>  и  log<i>_c^d</i>/_<i>c</i>  если  <i>b < a</i>  и  <i>d < c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_dc</i>  и  log<i>_ba</i>;  если  (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0,  т...

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с пятого знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0,0001). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76542/problem_76542_img_2.gif">

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. Можно назвать положительную дробь $y$, меньшую 1, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как за два таких действия гарантированно узнать $x$?

Существует ли число, которое может быть представлено в виде $\frac1n + \frac1m$, где $m$ и $n$ натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.

Имеется натуральное 1001-значное число $A$. 1001-значное число $Z$ – то же число $A$, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что $A > Z$. При каком $A$ частное $A/Z$ будет наименьшим (но строго больше 1)?

Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, ... есть числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65407/problem_65407_img_2.gif">

Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

Пусть  <i>n</i> > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  ¹/_<i>n</i>, ²/_<i>n</i>, ..., ^<i>n</i>–1/_<i>n</i>  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  <i>f</i>(<i>n</i>). При каких натуральных  <i>n</i> > 1  числа  <i>f</i>(<i>n</i>) и  <i>f</i>(2015<i>n</i>) имеют разную чётность?

Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  <i>a – b</i>  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа  <i>a + kb</i>  может также оказаться равной 15?

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид ¹/_<i>k</i>, где <i>k</i> натуральное.

Отличник Вася складывает обыкновенные дроби без ошибок, а Петя складывает дроби так: в числитель пишет сумму числителей, а в знаменатель – сумму знаменателей. Учительница предложила ребятам сложить три несократимые дроби. У Васи получился правильный ответ 1. Мог ли у Пети получиться ответ меньше ¹/₁₀?

Разложите функции   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61469/problem_61469_img_2.gif">   и   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61469/problem_61469_img_3.gif">   (<i>n</i> ≥ 1)  в цепные дроби.

Определения многочленов Фибоначчи <i>F_n</i>(<i>x</i>) и Люка <i>L_n</i>(<i>x</i>) смотри, например, <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#fibonacci">здесь</a>.

При возведении числа  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif"> в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:

  (1 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif">)¹ = 1 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif"> = <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.g...

Применим метод Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>) для приближённого нахождения корней многочлена   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности чисел получатся, если

  а)  <i>x</i>₀ = 1;   б)  <i>x</i>₀ = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности?

Опишите разложения чисел <i>x_n</i> в цепные дроби.

Пусть число <i>m</i> имеет вид  <i>m</i> = 2^<i>a</i>5^<i>b</i><i>m</i>₁,  где  (10, <i>m</i>₁) = 1.  Положим  <i>k</i> = max {<i>a, b</i>}.

Докажите, что период дроби ¹/_<i>m</i> начинается с (<i>k</i>+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби ¹/_<i>m</i>₁.

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби   ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>₁, 10) = 1  и  (<i>m</i>₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  <i>L</i>(<i>m</i>₁<i>m</i>₂) = [<i>L</i>(<i>m</i>₁), <i>L</i>(<i>m</i>₂)].

Чему равна длина периода дроби  ¹/_<i>m</i>₁ + ¹/_<i>m</i>₂?