Олимпиадные задачи по математике
Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>). Известно, что для некоторого многочлена <i>R</i>(<i>x, y</i>) выполняется равенство <i>P</i>(<i>x</i>) – <i>P</i>(<i>y</i>) = <i>R</i>(<i>x, y</i>)(<i>Q</i>(<i>x</i>) – <i>Q</i>(<i>y</i>)).
Докажите, что существует такой многочлен <i>S</i>(<i>x</i>), что <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>S</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)).
Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>4</sub>, ... есть числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65407/problem_65407_img_2.gif">
Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.
а) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.б) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.