Олимпиадные задачи по математике для 1-8 класса - сложность 2 с решениями
Из каждого клетчатого квадрата со стороной 3 клетки вырезается фигура из пяти клеток с таким же периметром, как у квадрата, но площадью 5 клеток. Саша утверждает, что сможет вырезать семь таких различных фигур (никакие две из них не совместятся при наложении, даже если фигуры переворачивать). Не ошибается ли он?
Точка <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> остроугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>N</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>BC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i> и проходящая через точку <i>N</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>. Найдите угол <i>AKC</i>.
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>AB</i> равна меньшему основанию <i>BC</i>, а диагональ <i>AC</i> равна основанию <i>AD</i>. Прямая, проходящая через вершину <i>B</i> параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>DC</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>AM</i> – биссектриса угла <i>BAC</i>.
Существует ли такой параллелограмм, что все точки попарных пересечений биссектрис его углов лежат вне параллелограмма?
Каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два равнобедренных треугольника. Верно ли, что четырёхугольник – ромб?
На стороне<i> AB </i>прямоугольника<i> ABCD </i>выбрана точка<i> M </i>. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой<i> CM </i>, который пересекает сторону <i> AD </i>в точке <i> E </i>. Точка<i> P </i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i> M </i>на прямую <i> CE </i>. Найдите угол <i> APB </i>.
После урока на доске остался график функции <i>y = <sup>k</sup>/<sub>x</sub></i> и пять прямых, параллельных прямой <i>y = kx</i> (<i>k</i> ≠ 0).
Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.
На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные семь крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?
В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду <i>успешной</i>, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?
На параболе <i>y = x</i>² выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.
Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построен квадрат <i>ABDE</i>. Известно, что <i>AC</i> = 1, <i>BC</i> = 3.
В каком отношении делит сторону <i>DE</i> биссектриса угла <i>C</i>?
У квадратного уравнения <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0 коэффициенты <i>p</i> и <i>q</i> увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.
Квадрат суммы цифр числа <i>A</i> равен сумме цифр числа <i>A</i><sup>2</sup>. Найдите все такие двузначные числа <i>A</i>.
Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Произведение пяти различных целых чисел равно 2022. Чему может равняться их сумма? Если ответов несколько — укажите их все.
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.
В правильном пятиугольнике $ABCDE$ отмечена точка $F$ – середина $CD$. Серединный перпендикуляр к $AF$ пересекает $CE$ в точке $H$. Докажите, что прямая $AH$ перпендикулярна прямой $CE$.
Саша и Ваня родились 19 марта. Каждый из них отмечает свой день рождения тортом со свечками по количеству исполнившихся ему лет. В тот год, когда они познакомились, у Саши на торте было столько же свечек, сколько у Вани сегодня. Известно, что суммарное количество свечек на четырёх тортах Вани и Саши (тогда и сегодня) равно 216. Сколько лет исполнилось Ване сегодня?
Восстановите треугольник <i>ABC</i> по вершине <i>B</i>, центру тяжести и точке пересечения <i>L</i> симедианы, проведённой из вершины <i>B</i>, с описанной окружностью.
В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.
Верно ли, что у него равны стороны?
В прямоугольном треугольнике <i>ABC CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:
а) <i>B'M || BC</i>;
б) <i>AK</i> – касательная к окружности.
В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.
Толстый выпуск газеты стоит 30 рублей, а тонкий – дешевле. Для пенсионеров установлена скидка на одно и то же количество процентов на все газеты, поэтому тонкий выпуск той же газеты они покупают за 15 рублей. Известно, что в любом случае газета стоит целое количество рублей. Сколько стоит тонкая газета без скидки и сколько стоит толстая газета для пенсионеров?