Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 3-4 с решениями

Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.

Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если  <i>BD = a</i>.

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i>₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i>₁, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i>₁, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)

Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что  <i>AD</i> = &frac13; <i>AC,  CE</i> = &frac13; <i>CE</i>.  Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>ВС</i>, <i>АС</i> и <i>АВ</i> в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Точка <i>K</i> – проекция точки <i>C'</i> на прямую <i>A'B'</i>. Докажите, что <i>KC'</i> – биссектриса угла <i>AKB</i>.

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.

Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть.

Найдите все простые числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, для которых выполняется равенство:  <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)^<i>r</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  ∠<i>ВАС</i> = 20°,  ∠<i>ВСА</i> = 35°,  ∠<i>ВDС</i> = 40°,  ∠<i>ВDА</i> = 70°.

Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Для различных положительных чисел <i>а</i> и <i>b</i> выполняется равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116018/problem_116018_img_2.png">.  Докажите, что <i>а</i> и <i>b</i> – взаимно обратные числа.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Биссектрисы углов <i>В</i> и <i>С</i> пересекаются в точке, лежащей на отрезке <i>AD</i>.

Найдите <i>AD</i>, если  <i>АВ</i> = 5,  <i>СD</i> = 3.

Докажите, что если  <i>x</i> > 0,  <i>y</i> > 0,  <i>z</i> > 0 и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115995/problem_115995_img_2.gif">,  и укажите, в каком случае достигается равенство.

Найдите наименьшее значение  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  <i>x</i>² – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.

Докажите, что при любых натуральных  0 <<i>k</i><<i>m < n</i>  числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif">  не взаимно просты.

Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или чёрного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

Внутри квадрата <i>ABCD</i> лежит квадрат <i>PQRS</i>. Отрезки <i>AP, BQ, CR</i> и <i>DS</i> не пересекают друг друга и стороны квадрата <i>PQRS</i>.

Докажите, что сумма площадей четырёхугольников <i>ABQP</i> и <i>CDSR</i> равна сумме площадей четырёхугольников <i>BCRQ</i> и <i>DAPS</i>.

Дана окружность и точка <i>A</i> внутри неё.

Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> всевозможных прямоугольников <i>ABCD</i>, где точки <i>B</i> и <i>D</i> лежат на окружности.

Дан квадрат, внутри которого лежит точка <i>O</i>. Докажите, что сумма углов <i>OAB, OBC, OCD</i> и <i>ODA</i> отличается от 180° не больше чем на 45°.

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., <i>n</i>},  не содержащие двух соседних чисел.

Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (<i>n</i> + 1)! – 1.

Имеется прямоугольная доска <i>m×n</i>, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток

  а) меньше  ^<i>mn</i>/₄;

  б) меньше  ^<i>mn</i>/₅.

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.

Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?