Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса
В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для каждых двух учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимаются не менее 18 учеников.
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее ⅔ всего класса.
Можно ли в записи 2013² – 2012² – ... – 2² – 1² некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?
Известно, что <i>b</i> = 2013<sup>2013</sup> + 2. Будут ли числа <i>b</i>³ + 1 и <i>b</i>² + 2 взаимно простыми?
Точка <i>А</i> лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра (см. рис.), <i>В</i> – наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, <i>С</i> – произвольная точка окружности нижнего основания. Найдите <i>АВ</i>, если <i>АС</i> = 12, <i>BC</i> = 5. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116998/problem_116998_img_2.gif"></div>
Найдите наибольшее значение выражения <i>х + у</i>, если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116997/problem_116997_img_2.gif"> <i>x</i> ∈ [0, <sup>3π</sup>/<sub>2</sub>], <i>y</i> ∈ [π, 2π].
Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.
Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если <i>BD = a</i>.
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i><sub>1</sub>. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i><sub>1</sub>, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i><sub>1</sub>, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.
Найдите наибольшее значение выражения <i>ab + bc + ac + abc</i>, если <i>a + b + c</i> = 12 (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Центр <i>О</i> окружности, описанной около четырёхугольника <i>АВСD</i>, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если ∠<i>ВАО</i> = ∠<i>DAC,
AC = m, BD = n</i>.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что <i>Р</i>(1) = 2013, <i>Р</i>(2013) = 1, <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>, где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.
Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится <i>X</i> лет в <i>X</i>² году.
А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Известно, что tg α + tg β = <i>p</i>, ctg α + ctg β = <i>q</i>. Найдите tg(α + β).
Последовательные натуральные числа 2 и 3 делятся на последовательные нечётные числа 1 и 3 соответственно; числа 8, 9 и 10 – делятся на 1, 3 и 5 соответственно. Найдутся ли 11 последовательных натуральных чисел, которые делятся на 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 и 21 соответственно?
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла девять носков. Среди каждых четырёх из этих носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди каждых пяти не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?
Известно, что среди 63 монет есть 7 фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие монеты также весят одинаково, и фальшивая монета легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить 7 настоящих монет?
На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>АС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>MKB</i> равен углу <i>MNC</i>, а угол <i>KMB</i> равен углу <i>KNA</i>. Докажите, что <i>NB</i> – биссектриса угла <i>MNK</i>.
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116928/problem_116928_img_2.gif">.
На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?
В треугольнике <i>ABC</i> медиана, проведённая из вершины <i>A</i> к стороне <i>BC</i>, в четыре раза меньше стороны <i>AB</i> и образует с ней угол 60°. Найдите угол <i>А</i>.
На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?