Олимпиадные задачи по математике для 8-11 класса
Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что <i>MK = KN</i>.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>BC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. При каком расположении точек <i>M</i> и <i>P</i> радиус окружности, описанной около треугольника <i>BMP</i>, будет наименьшим?
Проведем через основание биссектрисы угла<i> A </i>разностороннего треугольника<i> ABC </i>отличную от стороны<i> BC </i>касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через<i> K<sub>a</sub> </i>. Аналогично построим точки<i> K<sub>b</sub> </i>и<i> K<sub>c</sub> </i>. Докажите, что три прямые, соединяющие точки<i> K<sub>a</sub> </i>,<i> K<sub>b</sub> </i>и<i> K<sub>c</sub> </i>с серединами сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABMC </i>, в котором<i> AB=BC </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/108679/problem_108679_img_2.gif"> BAM = </i>30<i><sup>o</sup> </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/108679/problem_108679_img_2.gif"> ACM= </i>150<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что<i> AM </i>– биссектриса угла<i> BMC </i>.
На основании <i>AB</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i> так, что окружность, вписанная в треугольник <i>BCD</i>, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков <i>CA</i> и <i>CD</i> и отрезка <i>AD</i> (вневписанная окружность треугольника <i>ACD</i>). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника <i>ABC</i>, опущенной на его боковую сторону.
В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> AA</i>1– медиана,<i> AA</i>2– биссектриса,<i> K </i>– такая точка на<i> AA</i>1, для которой<i> KA</i>2<i> || AC </i>. Докажите, что<i> AA</i>2<i> <img src="/storage/problem-media/108188/problem_108188_img_2.gif"> KC </i>.
Вокруг треугольника <i>ABC</i> описана окружность, к ней через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные, которые пересекаются в точке <i>M</i>. Точка <i>N</i> лежит на стороне <i>BC</i>, причём прямая <i>MN</i> параллельна стороне <i>AC</i>. Докажите, что <i>AN = NC</i>.
<i> ABCD </i>– выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках<i> AB </i>и<i> CD </i>как на диаметрах, касаются внешним образом в точке<i> M </i>, отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки<i> A </i>,<i> M </i>и<i> C </i>, вторично пересекает прямую, соединяющую точку<i> M </i>и середину<i> AB </i>в точке<i> K </i>, а окружность, проходящая через точки<i> B </i>,<i> M </i>и<i> D </i>, вторично пересекает ту же прямую в точке<i> L </i>. Докажите, что<i> |MK-ML| = |AB-CD| </i>.
В окружность вписан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>. Пусть <i>K</i> – середина дуги <i>BC</i>, не содержащей точку <i>A, N</i> – середина отрезка <i>AC, M</i> – точка пересечения луча <i>KN</i> с окружностью. В точках <i>A</i> и <i>C</i> проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что
∠<i>EMK</i> = 90°.
Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.
В угол вписана окружность с центром <i>O</i>. Через точку <i>A</i>, симметричную точке <i>O</i> относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки <i>A</i> стороной угла – <i>B</i> и <i>C</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на биссектрисе данного угла.
Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна <i>c</i>. На стороне <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что ∠<i>CMA</i> = φ.
Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников <i>AMC</i> и <i>BMC</i>.
Угол при вершине <i>A</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) равен 20°. На стороне <i>AB</i> отложим отрезок <i>AD</i>, равный <i>BC</i>. Найдите угол <i>BCD</i>.
В трапеции <i>ABCD AB</i> – основание, <i>AC = BC</i>, <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.
Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром <i>a</i>. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построен квадрат с центром <i>O</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно, а длины этих сторон равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Найти максимум суммы <i>OM + ON</i>, когда угол <i>ACB</i> меняется.
Для двух данных различных точек плоскости<i>A</i>и<i>B</i>найдите геометрическое место таких точек<i>C</i>, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный, а его угол<i>A</i> - средний по величине.Комментарий. Под<i>средним по величине</i>углом мы понимаем угол, который<i>не больше</i>одного из углов, и<i>не меньше</i>другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.
<i>D</i>– точка на стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>. B треугольники<i>ABD, ACD</i>вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от<i>BC</i>), пересекающая<i>AD</i>в точке<i>K</i>. Докажите, что длина отрезка<i>AK</i>не зависит от положения точки<i>D</i>на<i>BC</i>.
Внутри угла с вершиной <i>M</i> отмечена точка <i>A</i>. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке <i>B</i>, затем от другой стороны в точке <i>C</i> и вернулся в <i>A</i> ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BCM</i> лежит на прямой <i>AM</i>. (Шар считайте точкой.) <img src="/storage/problem-media/105104/problem_105104_img_2.png" width="200">
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен α, <i>BC = a</i>. Вписанная окружность касается прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i>.
Найти длину хорды, высекаемой на прямой <i>MP</i> окружностью с диаметром <i>BC</i>.
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася.
На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
Внутри квадрата<i>ABCD</i>расположен квадрат<i>KMXY</i>. Докажите, что середины отрезков<i>AK</i>,<i>BM</i>,<i>CX</i>и<i>DY</i>также являются вершинами квадрата.
Изобразите множество середин всех отрезков, концы которых лежат а) на данной полуокружности; б) на диагоналях данного квадрата.