Олимпиадная задача по планиметрии с окрестностями для 8–9 класса от Шарыгина
Задача
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Решение
Пусть P и Q – середины сторон соответственно AB и CD четырёхугольника ABCD , O1– центр окружности, проходящей через точки A , M и C , O2– центр окружности, роходящей через точки B , M и D .
-
Точки M , P и Q лежат на одной прямой. В самом деле, PQ – линия центров касающихся окружностей, значит прямая PQ проходит через их точку касания M .
-
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром O1O2. Действительно, AM – общая хорда пересекающихся окружностей с центрами O1и P , поэтому она перпендикулярна их линии центров O1P . Аналогично O2P
BM , а т.к. точка M лежит на окружности с диаметром AB , то AM BM . Поэтому 
O1PO2 = 90o . Аналогично докажем, что O1QO2 = 90o . Значит, отрезок O1O2виден из точек P и Q под прямым углом. Следовательно, эти
точки лежат на окружности с диаметром O1O2. -
Пусть H1и H2– проекции точек соответственно O1и O2на прямую PQ . Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то KH1 = H1M и LH2=H2M .
4) PH1=QH2, т.к. проекция середины отрезка O1O2делит отрезок H1H2пополам; но эта проекция делит пополам и отрезок PQ (диаметр, перпендикулярный хорде).
- Наконец,
|MK-ML| = 2|MH1-MH2|= 2|MP-MQ|=
=2|
AB-CD| = |AB-CD|.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь