Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: медиана и биссектриса в треугольнике ABC, уровень 8-9 класс

Задача 208188 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

В треугольнике ABC известно, что AA1– медиана, AA2– биссектриса, K – такая точка на AA1, для которой KA2 || AC . Докажите, что AA2 KC .

Решение

Обозначим векторы и через и соответственно, а их модули – через b и c . Тогда

= (+ ).

По свойству биссектрисы треугольника

= = ,

поэтому

= + .

Поскольку KA2 || AC , то

= = AK=· AA1,

а т.к. векторы и сонаправлены, то

= = ((+ ))= + .

Тогда

= += -++ = - .

Значит,

· = (+)( - )=

=()2· b2 - ()2· c2 =0.

Следовательно, AA2 KC .

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет