Олимпиадная задача по планиметрии: Вписанный прямоугольный треугольник и точка E
Задача
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.
Решение
По теореме о пересекающихся хордах NA·NC = NM·NK.
Пусть O – центр окружности. Точки A и C симметричны относительно прямой OE и лежат на окружности с диаметром OE. Поэтому отрезок OE проходит через середину N хорды AC, и (по той же теореме) NA·NC = NE·NO.
Отсюда NM·NK = NE·NO. Следовательно, точки M, O, K, E лежат на одной окружности.
Значит, ∠EMK = ∠EOK, а угол EOK – прямой (OE ⊥ AC, а OK || AC как средняя линия треугольника ABC).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь