Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан треугольник <i>ABC, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов <i>A, B</i> и <i>C</i> относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что  (<i>a + b</i>)(<i>b + c</i>)(<i>c + a</i>) = <i>abc</i>,  (<i>a</i>³ + <i>b</i>³)(<i>b</i>³ + <i>c</i>³)(<i>c</i>³ + <i>a</i>³) = <i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³.  Докажите, что  <i>abc</i> = 0.

Набор пятизначных чисел ${N_1, \dots, N_k}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.

Мишень "бегущий кабан" находится в одном из<i> n </i>окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?

Набор пятизначных чисел<i> {N₁ </i>,<i> N_k} </i>таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел<i> N₁ </i>,<i> N_k </i>. Найдите наименьшее возможное значение<i> k </i>.

Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные – по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)

Путь от платформы <i>A</i> до платформы <i>B</i> электропоезд прошел за <i>X</i> минут  (0 < <i>X</i> < 60).  Найдите <i>X</i>, если известно, что как в момент отправления от <i>A</i>, так и в момент прибытия в <i>B</i> угол между часовой и минутной стрелками равнялся <i>X</i> градусам.

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина – алюминиевые массой 10 г, а остальные – дюралевые массой 9,9 г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них – одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Даны числа 1, 2, ..., <i>N</i>, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких <i>N</i> всегда можно сделать все числа белыми?

Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.

(Каждый простой делитель учитывается один раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)

Найдите все такие пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, что  <i>p</i>³ – <i>q</i>⁵ = (<i>p + q</i>)².

Имеется 4 монеты, из которых 3 – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

Найдите все такие тройки натуральных чисел <i>m, n</i> и <i>l</i>, что  <i>m + n</i> = (НОД(<i>m, n</i>))²,  <i>m + l</i> = (НОД(<i>m, l</i>))²,  <i>n + l</i> = (НОД(<i>n, l</i>))².

Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3&times3 была одна и та же?

Известно, что  <i>f</i>(<i>x</i>), <i>g</i>(<i>x</i>) и <i>h</i>(<i>x</i>) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>h</i>(<i>x</i>)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.

Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?

В плоскости выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположена точка <i>P</i>. Проведены биссектрисы <i>PK,PL, PM</i> и <i>PN</i> треугольников <i>APB, BPC, CPD</i> и <i>DPA</i> соответственно.

  а) Найдите хотя бы одну такую точку <i>P</i>, для которой четырёхугольник <i>KLMN</i> – параллелограмм.

  б) Найдите все такие точки.

У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.

Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?

В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.

  а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.

  б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.