Олимпиадная задача по математике для 8–10 классов: доказательство для уравнений с многочленами

  Заметим сначала, что  x² – xy + y² > |xy|  для любых различных чисел x и y.

   Предположим, что  abc ≠ 0.  Тогда, разделив второе равенство на первое, получим  (a² – ab + b²)(b² – bc + c²)(c² – ca + a²) = |ab|· |bc|·|ac|.

  Все скобки слева и все множители справа положительны; при этом каждый множитель слева не меньше соответствующего множителя справа. Поэтому равенство может достигаться лишь тогда, когда все эти три неравенства обращаются в равенства, то есть когда  a = b = c.  В этом случае первое равенство из условия принимает вид  8a³ = a³, что невозможно при  a ≠ 0.  Значит, наше предположение неверно, и  abc = 0.

Ответ задачи отсутствует