Олимпиадная задача: разность натуральных с одинаковым числом простых делителей для 7–9 классов
Задача
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.
(Каждый простой делитель учитывается один раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
Решение
Если число n чётно, то есть n = 2m, то искомыми числами будут 4m и 2m. Пусть n нечётно, p1, ..., ps – его простые делители и p – наименьшее нечётное простое число, не входящее во множество {p1, ..., ps}. Тогда искомыми будут числа pn и (p – 1)n, так как, в силу выбора p, число p – 1 имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел p1, ..., ps.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет