Олимпиадные задачи по математике для 7-11 класса - сложность 2 с решениями
Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что НОК(<i>m, n</i>) + НОД(<i>m, n</i>) = <i>m + n</i>. Докажите, что одно из чисел <i>m</i> или <i>n</i> делится на другое.
Товарный поезд, отправившись из Москвы в <i>x</i> часов <i>y</i> минут, прибыл в Саратов в <i>y</i> часов <i>z</i> минут. Время в пути составило <i>z</i> часов <i>x</i> минут.
Найдите все возможные значения <i>x</i>.
На сторонах единичного квадрата отметили точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> так, что прямая <i>KM</i> параллельна двум сторонам квадрата, а прямая <i>LN</i> – двум другим сторонам квадрата. Отрезок <i>KL</i> отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок <i>MN</i>?
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AD</i> и <i>BE</i>. Известно, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>.
Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111". Когда он родился?
Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб2×2×2.
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся
а) 15 одноклассников;
б) 16 одноклассников?
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a<sub>k</sub> = a</i><sub><i>k</i>–2</sub> – <i>a</i><sub><i>k</i>–1</sub>)?
Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.
Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел <i>c</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>2</sub>, ..., <i>c</i><sub>100</sub>, что для любых двух соседних чисел <i>c<sub>i</sub></i> и <i>c</i><sub><i>i</i>+1</sub> этого набора сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98157/problem_98157_img_2.gif"> есть квадрат целого числа.
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.
Функции <i>f</i> и <i>g</i> определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что <i>f</i> представляется в виде суммы линейной и периодической функций: <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>kx + h</i>(<i>x</i>), где <i>k</i> – число, <i>h</i> – периодическая функция. Доказать, что <i>g</i> также представляется в таком виде.