Олимпиадная задача: Подпоследовательности дробей и рекуррентные соотношения (8–10 класс)
Задача
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (ak = ak–2 – ak–1)?
Решение
а) Такая подпоследовательность строится, например, следующим образом. Напишем первые сто различных чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Разделим все числа на их наименьшее общее кратное и запишем результаты в обратном порядке. Все дроби сократятся, и получатся числа из нашего ряда, записанные в порядке убывания, при этом каждое число, начиная с третьего, есть разность двух предыдущих. б) Знаменатель каждой дроби делит НОК двух предыдущих. Поэтому знаменатели всех дробей делят НОК двух первых. Следовательно, различных знаменателей может быть лишь конечное число, а значит, и наша подпоследовательность конечна.
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь