Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть <i>C</i>₁ – более удалённая от вершины <i>C</i> точка пересечения окружностей, построенных на медианах <i>AM</i>₁ и <i>BM</i>₂. Точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

Вокруг выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника <i>ABCD</i>, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, равный треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и такой, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ будут параллельны?

Пусть1<i><a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> b<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> c </i>. Докажите, что <center><i>

log _a b+log _b c+log _c a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif">log _b a+log _c b+log _a c.

</i></center>

В основании четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>лежит параллелограмм<i> ABCD </i>. Докажите, что для любой точки<i> O </i>внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров<i> OSAB </i>и<i> OSCD </i>равна сумме объёмов тетраэдров<i> OSBC </i>и<i> OSDA </i>.

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов  (<i>x</i> > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?

Числа <i>a, b, c</i> таковы, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ <i>a + b + c</i> ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.

Многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  имеет три различных действительных корня, а многочлен <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)), где  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>x</i> + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  <i>P</i>(2001) > ¹/₆₄.

Через вершину <i>A</i> тетраэдра <i>ABCD </i> проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней <i>ABC, ACD</i> и <i>ABD</i> образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке <i>C</i>, а вторую – в точке <i>D</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>BD</i>, не содержащих точку <i>A</i>, а <i>K</i> – середина отрезка <i>CD</i>. Докажите, что угол <i>MKN</i> прямой. (Можно считать, что точки <i>C</i> и <i>D</i> лежат по разные стороны от точки <i>A</i>.)

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 5  сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный <i>n</i>-угольник, не может являться правильным (<i>n</i>+1)-угольником.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.

Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

На боковых ребрах<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>правильной треугольной пирамиды<i> SABC </i>взяты соответственно точки<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>и<i> C₁ </i>так, что плоскости<i> A₁B₁C₁ </i>и<i> ABC </i>параллельны. Пусть<i> O </i>– центр сферы, проходящей через точки<i> S </i>,<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C₁ </i>. Докажите, что прямая<i> SO </i>перпендикулярна плоскости<i> A₁B₁C </i>.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>DD</i>₁ тетраэдра <i>ABCD</i> пересекаются в центре <i>H</i> сферы, вписанной в тетраэдр <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁.

Докажите, что тетраэдр <i>ABCD</i> – правильный.

Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?

Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

Окружности <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Через точку <i>A</i> окружности <i>S</i>₁ проведены прямые <i>AM</i> и <i>AN</i>, пересекающие окружность <i>S</i>₂ в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а через точку <i>D</i> окружности <i>S</i>₂ – прямые <i>DM</i> и <i>DN</i>, пересекающие <i>S</i>₁ в точках <i>E</i> и <i>F</i>, причём точки <i>A, E, F</i> лежат по одну сторону от прямой <i>MN</i>,...

Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.

Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m_a </i>,<i> m_b </i>и<i> m_c </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.

</i></center>

Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.

Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.

Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.