Олимпиадная задача: SO и перпендикулярность в пирамиде SABC, стереометрия, 10-11 класс

Задача

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Решение

Спроектируем точку O на плоскость SBC . Полученная точка O₁ – центр окружности, описанной около треугольника SBC₁ . Пусть SS₁ – ее диаметр. Докажем, что прямые SO₁ и B₁C перпендикулярны.

Действительно (рис),

SB₁C+ B₁SS₁= SC₁B+ BSS₁=SB+BS₁= · 180^o=90^o.

Аналогично, прямая A₁C перпендикулярна проекции прямой SO на плоскость SAC 1172. По теореме о трех перпендикулярах SO A₁C и SO B₁C , следовательно, SO A₁B₁C , что и требовалось доказать.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов: доказательство перпендикулярности для правильной треугольной пирамиды SABC

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления