Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.

Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?

Точка<i> D </i>на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников<i> ABD </i>и<i> ACD </i>равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>, касающихся соответственно отрезков<i> BD </i>и<i> CD </i>, также равны.

<i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Известно, что отрезок <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекает среднюю линию, параллельную <i>AB</i>, в точке <i>C'</i>. Докажите, что отрезок <i>CC'</i> перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?

Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>

f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>

Биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.

Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>I_A</i> и <i>I_B</i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I_ACP</i> и <i>I_BCP</i>, совпадает с центром окружности Ω.

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

Пусть точка<i> A' </i>лежит на одной из сторон трапеции<i> ABCD </i>, причём прямая<i> AA' </i>делит площадь трапеции пополам. Точки<i> B' </i>,<i> C' </i>и<i> D' </i>определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>симметричны относительно середины средней линии трапеции<i> ABCD </i>.

Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через рёбра призмы.)

В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $T$ – точка касания этой окружности со стороной $AC$. Пусть $P$ и $Q$ – ортоцентры треугольников $BAI$ и $BCI$. Докажите, что точки $T$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.

Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что

  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;

  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i>₁, <i>В</i>₁ и <i>С</i>₁ точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i>₁<i>С</i>₁, <i>А</i>₁<i>ВС</i>₁, <i>А</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i>₁, средн...

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан вокруг окружности, касающейся сторон <i>AB, BC, CD, DA</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Точки <i>A', B', C', D'</i> – середины отрезков <i>LM, MN, NK, KL</i>. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми <i>AA', BB', CC', DD'</i>, – вписанный.

Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>I_a, I_b, I_c</i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I_aB</i>₁ и <i>I_bA</i>₁ пересекаются в точке <i>C</i>₂. Аналогично отрезки <i>I<sub>b&lt...