Олимпиадные задачи из источника «3 (2010 год)»

Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010.

Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.

В автобусе <i>n</i> мест, и все билеты проданы <i>n</i> пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка <i>O</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку <i>O</i>. На рисунке показана одна из возможных схем складывания. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65309/problem_65309_img_2.gif"></div>

Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010 (то есть стала не меньше 2010).

В Долине Пяти Озёр есть пять одинаковых озёр, некоторые из которых соединены ручьями (на рис. пунктиром обозначены возможные "маршруты" ручьёв). Маленькие караси появляются на свет только в озере <i>S</i>. Пока карась взрослеет, он ровно четыре раз переходит из одного озера в другое по какому-нибудь ручью (карась выбирает ручей наудачу), а затем остается жить в том озере, в котором оказался. Из каждой тысячи карасей в среднем 375 остается жить в озере <i>S</i>, а остальные остаются жить в озере <i>B</i>, в других озерах не остается жить никто. Определите, сколько ручьёв в Долине Пяти Озёр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65307/problem_65307_img_2.gif"></div>

На улице <i>n</i> домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.

  а) Решите задачу для  <i>n</i> = 5.

  б) Решите задачу для  <i>n</i> = 6.

  в) Решите задачу для произвольного <i>n</i>.

Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка <i>F</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку <i>F</i>. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65305/problem_65305_img_2.png"></div>

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.

  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.

  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

Дан числовой набор <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Рассмотрим функцию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.

  а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>?

  б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">,  а <i>m</i> – медиана указанного набора.

Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/165299">165299</a>). По её мнению, нужно из всех 2<i>n</i> мам выбрать случайным образом жюри из 2<i>m</i> человек  (2<i>m ≤ n</i>).  Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 3.

  а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашёл, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?

  б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?

Служить на подводной лодке может матрос, рост которого не превышает 168 см. Есть четыре команды А, Б, В и Г. Все матросы в этих командах хотят служить на подводной лодке и прошли строгий отбор. Остался последний отбор – по росту.

  В команде А средний рост матросов равен 166 см.

  В команде Б медиана роста матросов равна 167 см.

  В команде В самый высокий матрос имеет рост 169 см.

  В команде Г мода роста матросов равна 167 см.

В какой команде по крайней мере половина матросов точно может служить на подводной лодке?

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли <i>n</i> учеников 5 класса А, а во втором – <i>n</i> учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2<i>n</i> мам всех 2<i>n</i> учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.

  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли <i>n</i> учеников 5 класса А, а во втором – <i>n</i> учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2<i>n</i> мам всех 2<i>n</i> учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что каждая мама с вероятностью ½ голосует за лучший спектакль и с вероятностью ½ – за спектакль, в котором участвует её ребенок.

  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.

  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.

На новогоднюю ёлку повесили 100 лампочек в ряд. Затем лампочки стали переключаться по следующему алгоритму: зажглись все, через секунду погасла каждая вторая лампочка, ещё через секунду каждая третья лампочка переключилась: если горела, то погасла и наоборот. Через секунду каждая четвёртая лампочка переключилась, ещё через секунду – каждая пятая и так далее. Через 100 секунд всё закончилось. Найдите вероятность того, что случайно выбранная после этого лампочка горит (лампочки не перегорают и не бьются).

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.

  а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?

  б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65296/problem_65296_img_2.png"></div>