Олимпиадные задачи из источника «3 (2010 год)» - сложность 3 с решениями
3 (2010 год)
НазадПравильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010.
Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.
В автобусе <i>n</i> мест, и все билеты проданы <i>n</i> пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?
В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка <i>O</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку <i>O</i>. На рисунке показана одна из возможных схем складывания. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65309/problem_65309_img_2.gif"></div>
Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010 (то есть стала не меньше 2010).
В Долине Пяти Озёр есть пять одинаковых озёр, некоторые из которых соединены ручьями (на рис. пунктиром обозначены возможные "маршруты" ручьёв). Маленькие караси появляются на свет только в озере <i>S</i>. Пока карась взрослеет, он ровно четыре раз переходит из одного озера в другое по какому-нибудь ручью (карась выбирает ручей наудачу), а затем остается жить в том озере, в котором оказался. Из каждой тысячи карасей в среднем 375 остается жить в озере <i>S</i>, а остальные остаются жить в озере <i>B</i>, в других озерах не остается жить никто. Определите, сколько ручьёв в Долине Пяти Озёр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65307/problem_65307_img_2.gif"></div>
На улице <i>n</i> домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.
а) Решите задачу для <i>n</i> = 5.
б) Решите задачу для <i>n</i> = 6.
в) Решите задачу для произвольного <i>n</i>.
Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.
Дан числовой набор <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>. Рассмотрим функцию <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.
а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>?
б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">, а <i>m</i> – медиана указанного набора.
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/165299">165299</a>). По её мнению, нужно из всех 2<i>n</i> мам выбрать случайным образом жюри из 2<i>m</i> человек (2<i>m ≤ n</i>). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.