Первый способ. Пусть событие A_n "сумма очков равна n , а X_n – число сделанных при этом бросков. Событие A_n мы считаем уже осуществившимся, и нас интересует ожидание EX_n. Пусть I_k равно 1, если первый бросок дал k очков, и 0 в противном случае.

  События B_k "первый бросок дал k очков" и A_n–k (для оставшихся бросков) относятся к разным броскам и поэтому независимы. Следовательно, условная вероятность события  (I_k = 1)  равна &nbsp

  Ясно, что  X_n = X_n–1I₁ + X_n–2I₂ + ... + X_n–6I₆ + 1.

  При этом случайные величины X_n–k и I_k независимы, поскольку относятся к разным сериям бросков. Поэтому  

  Вводя обозначения  EX_k = e_k  и  P(A_k) = p_k,  получаем:     (1)

  Осталось воспользоваться тем, что  6p_n = p_n–1 + ... + p_n–6.  Это следует, например, из того, что сумма вероятностей  P(I_k = 1)  равна единице. Значит,  

  Начальные значения:  p_–5 = p–₄ = ... = p_–1 = 0;  p₀ = 1;  e_–5 = e–₄ = ... = e₀ = 0.  Последовательное вычисление дает  e₁ = 1,  p₁ = ¹/₆;

    ...,

e₂₀₁₀ = 574,5238095...   Второй способ. Известно, что сумма очков сравнялась с n. Пусть наступило событие A_k "в какой-то момент сумма равна k". Тогда последующие броски должны привести к событию A_n–k. Значит,     (cобытия A_n–k и A_k относятся к разным сериям бросков и поэтому независимы).

  Рассмотрим величину J_k, которая равна 1, если сумма в какой-то момент равна k, и 0 в противном случае.

  Очевидно, случайная величина "число полученных сумм"  X_n = J₁ + J₂ + ... + J_n  равна числу сделанных бросков.

  Введём краткие обозначения  EX_k = e_k,  P(A_k) = p_k.  Математическое ожидание EJ_k равно     следовательно,  

  Пользуясь соотношением  p_n–k = ¹/₆ (p_n–k–1 + ... + p_n–k–6),  запишем ожидание иначе:

574,5238095...