Небольшое геометрическое исследование показывает, что в результате может получиться шестиугольник, пятиугольник и четырёхугольник. Четырёхугольник получается, только если точка O попала точно в центр или в вершину квадрата. Вероятность этого равна нулю.

  Шестиугольник получается, если точкаOвнутри фигуры, граница которой образована четырьмя полуокружностями (оранжевый четырёхлепестковый цветок на рисунке). Если же точкаOв любом другое месте (серая область), то получается пятиугольник.   Если считать, что площадь квадрата равна 1, то вероятность того, что точкаOпопадает в оранжевую область, равна площади этой области: P_o = S_o= 8·(π/₁₆– 1/₈) = π/₂– 1.   ВероятностьP_gтого, что точкаOпопадает в серую область, равна  1 –P_o= 2 –^π/₂.   Таким образом, математическое ожидание числа сторон многоугольника равно  5(2 –^π/₂) + 6(^π/₂– 1) = 4 +^π/₂≈ 5,571.

4 + ^π/₂ ≈ 5,571.