Переход из озера в озеро будем называть маршрутом длины n, если он проходит через n ручьев. Докажем несколько утверждений.   1. Из S нет маршрута длины 2 ни в одно из озер A, C и D.

  Доказательство. Предположим, что из озера S можно проплыть в озеро A через одно промежуточное озеро (скажем C). Тогда был бы возможен маршрут  S – C – A – C – A.  В этом случае, была бы ненулевая вероятность попасть в озеро A за четыре перехода. Значит из S в A маршрута длины 2 нет.

  2. Озеро S связано с озером B маршрутом длины 2.

  Доказательство. Очевидно, S и B связаны. Предположим, они связаны общим ручьем. Тогда из B нет других выходов, иначе не выполнено условие (1). Значит, в можно прийти только из S на первом или третьем ходу. Но тогда после четвёртого перехода попасть в B карась не сможет. Противоречие.

  Предположим, что S и B связаны маршрутом длины 3 или 4. Но тогда есть маршрут длины 2 из S в одно из озёр A, C или D, а его быть не может.

  Значит, из S в B есть маршрут, проходящий через одно промежуточное озеро A, C или D, причём одно ничем не хуже другого. Можно для определенности считать, что есть маршрут  S – A – B.

  Из этого и утверждения 1 следует, что нет маршрутов  A – C  и  A – D.   3. Есть хотя бы один из маршрутов  B – C  или  B – D.

  Доказательство. Предположим, что нет ни маршрута  B – C,  ни  B – D.  Получаем один из следующих рисунков.

  В первом случае карась первый раз переходит в озероA, и у него остается три перехода. ОзераSиBодинаково расположены по отношению кA, поэтому их шансы должны быть равны. Легко видеть, что в трёх других случаях вероятность остаться в озереSбольше, чем вB.   Следовательно, один из маршрутов  B – C  или  B – D  присутствует.   Отсюда следует, что маршрута  C – D  нет.   4. Построенная конфигурация из трёх ручьёв удовлетворяет условию.

  Доказательство. Для построенной конфигурации возможны следующие маршруты длины 4:

  Над каждым переходом указана вероятность этого перехода, а справа – вероятность всего маршрута, полученная произведением вероятностей переходов между озерами.   Вероятность того, что карась, сделав четыре перехода, окажется в озереS, равна  0,25 + 0,125 =³/₈  – как раз то, что надо.   Значит, вероятность того, чтоB– конечная точка маршрута, равна  1 –³/₈=⁵/₈.   5. Больше ручьёв быть не может.

  Доказательство. Добавляя любые ручьи  S – C,  S – D,  B – D  порознь или вместе, мы изменим вероятности. В этом можно убедиться непосредственно, сделав еще семь рисунков, соответствующих возможным конфигурациям и рассчитав вероятности для каждой из полученных схем.   Таким образом, с точностью до обозначения вершин, схема, показанная на последнем рисунке – единственно возможная, а общее число ручьёв равно 3.

Ответ задачи отсутствует