Олимпиадные задачи из источника «2006-2007» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
2006-2007
НазадДан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub><i>x<sup>n</sup> + a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x + a<sub>n</sub></i>. Положим <i>m</i> = min {<i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i>}.
Докажите, что <i>P</i>(<i>x</i>) ≥ <i>mx<sup>n</sup></i>...
В бесконечной последовательности (<i>x<sub>n</sub></i>) первый член <i>x</i><sub>1</sub> – рациональное число, большее 1, и <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> + <sup>1</sup>/<sub>[<i>x<sub>n</sub></i>]</sub> при всех натуральных <i>n</i>.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Отрезок <i>AA</i><sub>1</sub> вторично пересекает вписанную окружность в точке <i>Q</i>. Прямая <i>l</i> параллельна <i>BC</i> и проходит через <i>A</i>. Прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>R</i> соответственно. Докажите, что ∠<i...
Докажите, что при<i> k></i>10в произведении <center><i>
f</i>(<i>x</i>)<i> = cos x cos </i>2<i>x cos </i>3<i>x .. cos </i>2<i><sup>k</sup> x
</i></center> можно заменить один<i> cos </i>на<i> sin </i>так, что получится функция<i> f<sub>1</sub></i>(<i>x</i>), удовлетворяющая при всех действительных<i> x </i>неравенству<i> |f<sub>1</sub></i>(<i>x</i>)<i>|<img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_3.gif"> </i>.
Точка<i> D </i>на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников<i> ABD </i>и<i> ACD </i>равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>, касающихся соответственно отрезков<i> BD </i>и<i> CD </i>, также равны.
При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?
Для вещественных <i>x > y</i> > 0 и натуральных <i>n > k</i> докажите неравенство (<i>x<sup>k</sup> – y<sup>k</sup></i>)<sup><i>n</i></sup> < (<i>x<sup>n</sup> – y<sup>n</sup></i>)<sup><i>k</i></sup>.
Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в<i> м<sup>3</sup> </i>) численно равен площади его поверхности (измеренной в<i> м<sup>2</sup> </i>). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?
На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?
При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие целые <i>a, b, c</i>, что их сумма равна нулю, а число <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup> + c<sup>n</sup></i> – простое?
Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)| при всех действительных <i>x</i>.
Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.