Олимпиадные задачи из источника «1997-1998» для 9 класса - сложность 3 с решениями

У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.

Существуют ли такие <i>n</i>-значные числа <i>M</i> и <i>N</i>, что все цифры <i>M</i> – чётные, все цифры <i>N</i> – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи <i>M</i> или <i>N</i> хотя бы один раз и <i>M</i> делится на <i>N</i>?

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₉₉₈. Из середины стороны <i>A</i>₁<i>A</i>₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₄, ..., <i>A</i>₁₉₉₈<i>A</i>₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

На концах клетчатой полоски размером1×101клеток стоят две фишки: слева – фишка первого игрока, справа – второго. За ход разрешается сдвинуть свою фишку в направлении противоположного края полоски на 1, 2, 3 или 4 клетки. При этом разрешается перепрыгивать через фишку соперника, но запрещается ставить свою фишку на одну клетку с ней. Выигрывает тот, кто первым достигнет противоположного края полоски. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник?

Назовём десятизначное число <i>интересным</i>, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

В пятиугольнике <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>A</i>₅ проведены биссектрисы <i>l</i>₁, <i>l</i>₂, ..., <i>l</i>₅ углов <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₅ соответственно. Биссектрисы <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂ пересекаются в точке <i>B</i>₁, <i>l</i>₂ и <i>l</i...

В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4,2<i></i>1998. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?

Пусть<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=x²+ax+b cos x </i>. Найдите все значения параметров<i> a </i>и<i> b </i>, при которых уравнения<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=</i>0и<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>=</i>0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть<i> A </i>– количество черных отрезков на периметре,<i> B </i>– количество белых, и пусть многоугольник состоит из<i> a </i>черных и<i> b </i>белых клеток. Докажите, что<i> A-B=</i>4(<i>a-b</i>).

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7¹⁹⁹⁸. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998⁷?

Имеется таблица <i>n×n</i>, в  <i>n</i> – 1  клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?

На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?

На доске написаны два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109683/problem_109683_img_2.gif">  (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.

В треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  проведены медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>BL</i>. Прямая, проходящая через точку <i>M</i> параллельно <i>AB</i>, пересекает <i>BL</i> в точке <i>D</i>, а прямая, проходящая через <i>L</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает <i>BM</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что прямые <i>ED</i> и <i>BL</i> перпендикулярны.

На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём <i>временем перевода</i>. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i>² </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.

Прямые, параллельные оси <i>Ox</i>, пересекают график функции  <i>y = ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>:  первая – в точках <i>A, D</i> и <i>E</i>, вторая – в точках <i>B, C</i> и <i>F</i> (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги <i>CD</i> на ось <i>Ox</i> равна сумме длин проекций дуг <i>AB</i> и <i>EF</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109668/problem_109668_img_2.gif"></div>

Внутри параболы  <i>y = x</i>²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом <i>n</i> > 1 окружность ω_<i>n</i> касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_<i>n</i>–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109664/problem_109664_img_2.gif"></div>

Окружность, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ – середины дуг <i>BAC, CBA, ACB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i><sub>2<...