Олимпиадная задача: минимизация времени перевода пяти часов – текстовая задача (7-9 класс)

  Отметим на одном циферблате положения часовых стрелок всех часов. Циферблат разобьётся на пять секторов. Занумеруем их по кругу (см. рис.).

  Пусть часовая стрелка проходит секторы за времяx₁,x₂,x₃,x₄,x₅соответственно (некоторые из этих чисел, возможно, нулевые). Заметим, что если мы станем устанавливать на всех часах время, соответствующее положению внутри сектора, то каждая часовая стрелка пройдёт через начало сектора. Это значит, что суммарное время перевода окажется заведомо больше, чем если бы мы устанавливали все часы на начало сектора.   Обозначим черезS_iсуммарное время, необходимое для установки всех часов на началоi-го сектора. Ясно, что время перевода отдельной стрелки является суммой некоторыхx_j. Например, время перевода на начало первого сектора равноx₅для пятых часов,  x₂+x₃+x₄+x₅  для вторых и т.д. Итак, S₁= (x₂+x₃+x₄+x₅) + (x₃+x₄+x₅) + (x₄+x₅) +x₅=x₂+ 2x₃+ 3x₄+ 4x₅.   ОстальныеS_iвыражаются аналогично. Следовательно,  S₁+S₂+S₃+S₄+S₅= (1 + 2 + 3 + 4)(x₁+x₂+x₃+x₄+x₅) = 10·12 = 120  часов.   Поэтому наименьшая сумма не превосходит  120 : 5 = 24  часа. С другой стороны, если все секторы одинаковы (например, часы показывают 12:00, 2:24, 4:48, 7:12 и 9:36), то всеS_iравны 24 часам, поэтому менее чем 24 часами не обойтись.

За 24 часа.