Олимпиадная задача по планиметрии и последовательностям для 8–9 классов от Губина Я.
Задача
Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.
Решение
Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны
3, 4 и 5 (Египетский треугольник).
В любом треугольнике2r<hb
a , т.е. диаметр вписанной
в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую
прогрессию с разностью d>0. Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p=
=3r+3d . Поскольку
в любом треугольнике S=pr и S=
,
то pr= или pr2=(p-a)(p-b)(p-c).
Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим
Ответ
Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь