Олимпиадные задачи из источника «1997-1998» - сложность 2 с решениями
1997-1998
Назад<center> <img src="/storage/problem-media/109962/problem_109962_img_2.gif"> </center> Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.
На плоскости дано множество из<i> n<img src="/storage/problem-media/109961/problem_109961_img_2.gif"></i>9точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все<i> n </i>точек лежат на двух окружностях.
В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.
Решите уравнение {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.
Угол, образованный лучами <i>y = x</i> и <i>y</i> = 2<i>x</i> при <i>x</i> ≥ 0, высекает на параболе <i>y = x</i>² + <i>px + q</i> две дуги. Эти дуги спроектированы на ось <i>Ox</i>. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Окружность <i>S</i> с центром <i>O</i> и окружность <i>S'</i> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На дуге окружности <i>S</i>, лежащей внутри <i>S'</i>, взята точка <i>C</i>. Точки пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BC</i> с <i>S'</i>, отличные от <i>A</i> и <i>B</i>, обозначим через <i>E</i> и <i>D</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>OC</i> перпендикулярны.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108109/problem_108109_img_2.gif"></div>Докажите, что ∠<i>APB</i>= ∠<i>CQD</i>.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC, S<sub>A</sub>, S<sub>B</sub>, S<sub>C</sub></i> – окружности с центром <i>O</i>, касающиеся сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к <i>S<sub>A</sub></i>, проведёнными из точки <i>A</i>, к <i>S<sub>B</sub></i> – из точки <i>B</i>, и к <i>S<sub>C</sub></i> – из точки <i>C</i>, равна 180°.
В параллелограмме <i>ABCD</i> точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Могут ли лучи <i>AM</i> и <i>AN</i> делить угол <i>BAD</i> на три равные части?
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> через центр <i>O</i> описанной окружности и вершины <i>B</i> и <i>C</i> проведена окружность <i>S</i>. Пусть <i>OK</i> – диаметр окружности <i>S, D</i> и <i>E</i> – соответственно точки её пересечения с прямыми <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что <i>ADKE</i> – параллелограмм.