Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата<i>n</i>×<i>n</i>, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата100<i>×</i>100, состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате100<i>× </i>100.)

Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника1<i>x </i>1994. Если соседняя справа от карточки с числом<i> n </i>клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом<i> n+</i>1. Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.

Докажите тождество <center><i> <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_2.gif">+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_3.gif">+..+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_4.gif">=

<img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_5.gif">+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_6.gif">+..+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_7.gif">.

</i></center>

Окружности<i> S₁ </i>и<i> S₂ </i>касаются внешним образом в точке<i> F </i>. Прямая<i> l </i>касается<i> S₁ </i>и<i> S₂ </i>в точках<i> A </i>и<i> B </i>соответственно. Прямая, параллельная прямой<i> l </i>, касается<i> S₂ </i>в точке<i> C </i>и пересекает<i> S₁ </i>в двух точках. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> F </i>и<i> C </i>лежат на одной прямой.

Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар  (<i>x, y</i>),  для которых

<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>),  через <i>n</i> – число пар, для которых  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>),  а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>).  Докажите, что  2<i>m ≤ n + k</i>.

Докажите, что для натуральных чисел <i>k, m</i> и <i>n</i> справедливо неравенство   [<i>k, m</i>][<i>m, n</i>][<i>n, k</i>] ≥ [<i>k, m, n</i>]².

В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.

Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  <i>P</i>₁(<i>x</i>), <i>P</i>₂(<i>x</i>) и <i>P</i>₃(<i>x</i>). Докажите, что уравнение  |<i>P</i>₁(<i>x</i>)| + |<i>P</i>₂(<i>x</i>)| = |<i>P</i>₃(<i>x</i>)|  имеет не более восьми корней.

Дана последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, в которой <i>a</i>₁ не делится на 5 и для всякого <i>n</i>  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n + b_n</i>,  где <i>b_n</i> – последняя цифра числа <i>a_n</i>. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

Две окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂касаются внешним образом в точке<i>F</i>. Их общая касательная касается<i>S</i>₁и<i>S</i>₂в точках<i>A</i>и<i>B</i>соответственно. Прямая, параллельная<i>AB</i>, касается окружности<i>S</i>₂в точке<i>C</i>и пересекает окружность<i>S</i>₁в точках<i>D</i>и<i>E</i>. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников<i>ABC</i>и<i>BDE</i>, проходит через точку<i>F</i>.

Даны такие натуральные числа<i>a</i>и<i>b</i>, что число  ^<i>a</i>+1/_<i>b</i>+^<i>b</i>+1/_<i>a</i>  является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел<i>a</i>и<i>b</i>не превосходит числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109551/problem_109551_img_2.gif">.

Трапеция <i>ABCD</i> такова, что на её боковых сторонах <i>AD</i> и <i>BC</i> существуют такие точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, что  ∠<i>APB</i> = ∠<i>CPD</i>,  ∠<i>AQB</i> = ∠<i>CQD</i>.

Докажите, что точки <i>P</i> и <i>Q</i> равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.