Олимпиадная задача Тамаркина: равнобедренные треугольники в правильном (6n+1)-угольнике

  Будем для краткости называть отрезками стороны и диагонали (6n+1)-угольника M, а треугольниками – равнобедренные треугольники с вершинами в вершинах M. Заметим, что каждый отрезок принадлежит ровно трём различным треугольникам (этот факт верен только при условии, что число сторон многоугольника имеет при делении на 6 остаток 1 или 5). Обозначим через N_C, N_CK и N_K число отрезков, концы которых окрашены в синий, синий и красный, красный цвета соответственно, а через N_CCC, N_CCK, N_CKK и N_KKK – число треугольников, у которых в синий цвет окрашены 3, 2, 1 и 0 вершин соответственно.

  Тогда   N_C = 3N_CCC + N_CCK,   так как каждый отрезок принадлежит трём треугольникам, в треугольниках с тремя синими вершинами три стороны с двумя синими концами, в треугольнике с двумя синими вершинами одна такая сторона, а в треугольниках с меньшим числом синих вершин таких сторон нет.

  Аналогично доказываются равенства   3N_KC = 2N_CCK + 2N_CKK   и   3N_K = N_CKK + 3N_KKK.

  Из этих равенств следует, что   N_CCC + N_KKK = N_K + N_C – ½ N_KC = ½ (K(K – 1) + C(C – 1) – KC),   где  C = 6n + 1 – K  – число синих вершин. Это и доказывает утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует