Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: точки касания окружностей и прямых (8-9 класс)

Задача 209566 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.

Авторы:
Калинин А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 1993-1994 Заключительный этап
Количество версий:
5
Решение
Решение I.Так как касательные к окружности S2 в точках B и C параллельны, то BC – ее диаметр, и BFC=90o . Докажем, что и AFB=90o . Проведем через точку F общую касательную к окружностям (рис), пусть она пересекает прямую l в точке K . Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,

AFB= AFK+ KFB= FAB+ FBA==90o.

Решение II.Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным- , где r1 и r2 – радиусы окружностей S1 и S2 . При этой гомотетии S1 переходит в S2 , а прямая l – касательная к S1 – переходит в параллельную прямую – касательную к S2 . Следовательно, точка A переходит в точку C , поэтому точка F лежит на отрезке AC .

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет