Олимпиадные задачи из источника «1992-1993» для 11 класса

У каждого из жителей города<i> N </i>знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города<i> N </i>из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.

Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.

Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Точка <i>O</i> – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром <i>O</i> касается всех боковых граней пирамиды. Точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> проходят через три точки касания сферы с гранями.

Докажите, что отрезок <i>AD</i> проходит через четвёртую точку касания.

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> > 2  число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif">   делится на 8.

Найдите все натуральные числа <i>n</i>, для которых сумма цифр числа 5<i>ⁿ</i> равна 2<i>ⁿ</i>.

На доске написано <i>n</i> выражений вида  *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0  (<i>n</i> – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3<i>n</i> ходов получится <i>n</i> квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) разрешается заменить на один из трёхчленов   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_3.gif">   Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  <i>x</i>² + 4<i>x</i> + 3  получить трёхчлен  <i>x</i>² + 10<i>x</i> + 9?

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит<i> F </i>. При каком наибольшем значении<i> F </i>всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.

В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

Докажите, что существует такое натуральное число<i> n </i>, что если правильный треугольник со стороной<i> n </i>разбить прямыми, параллельными его сторонам, на<i> n² </i>правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать1993<i>n </i>точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Найдите все функции<i> f</i>(<i>x</i>), определенные при всех положительных<i> x </i>, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>равенству<i> f</i>(<i>x^y</i>)<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>^f</i>(<i>y</i>).

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.