Олимпиадные задачи из источника «12 турнир (1990/1991 год)» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Укажите все такие натуральные <i>n</i> и целые неравные друг другу <i>x</i> и <i>y</i>, при которых верно равенство:   <i>x + x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^{2^<i>n</i>} = <i>y + y</i>² + <i>y</i>⁴ + ... + <i>y</i>^{2^<i>n</i>}.  

Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.

  а) Найдите четыре таких числа.

  б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Докажите, что произведение 99 дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98085/problem_98085_img_2.gif">   где  <i>k</i> = 2, 3, ..., 100,  больше &frac23;.

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

Имеется <i>n</i> целых чисел  (<i>n</i> > 1).  Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное <i>n</i>.

Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на <i>n</i>.

Рассматривается конечное множество <i>M</i> единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества <i>M</i>) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества <i>M</i>.

В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?

В клетках доски  <i>n×n</i>  произвольно расставлены числа от 1 до <i>n</i>². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  <i>n</i> + 1.

Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?

Доска 100×100 разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты – по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?

Найдите 10 различных натуральных чисел, обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них.