Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

В описанном пятиугольнике <i>ABCDE</i> диагонали <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в центре <i>O</i> вписанной окружности.

Докажите, что отрезок <i>BO</i> и сторона <i>DE</i> перпендикулярны.

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.

(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более <i>k</i> дорог. При каких <i>k</i> это возможно?

Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.

  а) Найдите четыре таких числа.

  б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Докажите, что произведение 99 дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98085/problem_98085_img_2.gif">   где  <i>k</i> = 2, 3, ..., 100,  больше &frac23;.

Круг поделили хордой <i>AB</i> на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки <i>A</i>. При этом повороте точка <i>B</i> перешла в точку <i>D</i> (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55754/problem_55754_img_2.gif"></div>Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка <i>BD</i>, перпендикулярны друг другу.