Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»

На основании <i>AB</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i> так, что окружность, вписанная в треугольник <i>BCD</i>, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков <i>CA</i> и <i>CD</i> и отрезка <i>AD</i> (вневписанная окружность треугольника <i>ACD</i>). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника <i>ABC</i>, опущенной на его боковую сторону.

На дуге <i>AC</i> описанной окружности правильного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>, <i>P</i> – середина этой дуги. Пусть <i>N</i> – середина хорды <i>BM, K</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>P</i> на <i>MC</i>. Докажите, что треугольник <i>ANK</i> правильный.

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.

Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

Рассматривается конечное множество <i>M</i> единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества <i>M</i>) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества <i>M</i>.

В колоду сложено <i>n</i> различных карт. Разрешается переложить любое число рядом лежащих карт (не меняя порядок их следования и не переворачивая) в другое место колоды. Требуется несколькими такими операциями переложить все <i>n</i> карт в обратном порядке.

  а) Докажите, что при  <i>n</i> = 9  это можно сделать за 5 операций;

Докажите, что при  <i>n</i> = 52  это

  б) можно сделать за 27 операций;

  в) нельзя сделать за 17 операций;

  г) нельзя сделать за 26 операций.

Дано:

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_3.gif">