Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, <i>r</i> и <i>r</i> извне касается двух других.

При каких значениях <i>r</i> существует треугольник, описанный около этих окружностей?

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

Имеется <i>n</i> целых чисел  (<i>n</i> > 1).  Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное <i>n</i>.

Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на <i>n</i>.