Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> равны соответственно сторонам <i>A'B', B'C', C'D'</i> и <i>D'A'</i> четырёхугольника <i>A'B'C'D'</i>, причём известно, что  <i>AB || CD</i>  и  <i>B'C' || D'A'</i>.  Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.

Для каждой точки <i>C</i> полуокружности с диаметром <i>AB</i> (<i>C</i> отлична от <i>A</i> и <i>B</i>) на сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> построены вне треугольника квадраты. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих их центры.

В колоду сложено <i>n</i> различных карт. Разрешается переложить любое число рядом лежащих карт (не меняя порядок их следования и не переворачивая) в другое место колоды. Требуется несколькими такими операциями переложить все <i>n</i> карт в обратном порядке.

  а) Докажите, что при  <i>n</i> = 9  это можно сделать за 5 операций;

Докажите, что при  <i>n</i> = 52  это

  б) можно сделать за 27 операций;

  в) нельзя сделать за 17 операций;

  г) нельзя сделать за 26 операций.

Числовая последовательность {<i>x_n</i>} такова, что для каждого  <i>n</i> > 1  выполняется условие:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = |<i>x_n| – x</i>_<i>n</i>–1.

Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?

Дано:

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_3.gif">