Олимпиадная задача: покрытие доски с дыркой треугольниками, комбинаторная геометрия 6–8 класс
Задача
Доска 100×100 разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты – по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?
Решение
Раскрасим доску чёрной и белой краской в шахматном порядке. Допустим, что нам удалось покрыть оставшиеся 99 единичных квадратиков треугольниками. Заметим, что тогда одна половина каждого треугольника белая, а другая – чёрная. Таким образом, покрытая площадь белого цвета равна покрытой площади чёрного цвета. С другой стороны, одна из этих площадей на 1 больше другой. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь