Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями

Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.

Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.

Сфера, вписанная в пирамиду <i>SABC</i>, касается граней <i>SAB, SBC, SCA</i> в точках <i>D, E, F</i> соответственно.

Найдите все возможные значения суммы углов <i>SDA, SEB</i> и <i>SFC</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>CD</i> – их общая касательная (<i>C</i> и <i>D</i> – точки касания), а <i>O_a, O_b</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>CAD, CBD</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>O_aO_b</i> лежит на прямой <i>AB</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>D</i> – середина высоты, опущенной на гипотенузу <i>AB</i>. Прямые, симметричные <i>AB</i> относительно <i>AD</i> и <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите отношение площадей треугольников <i>ABF</i> и <i>ABC</i>.

Точка <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>W</i> – середина дуги <i>AB</i> описанной окружности, не содержащей <i>C</i>. Оказалось, что  ∠<i>AIM</i> = 90°.  В каком отношении точка <i>I</i> делит отрезок <i>CW</i>?

Правильный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Прямая <i>l</i>, проходящая через середину стороны <i>AB</i> и параллельная <i>AC</i>, пересекает дугу <i>AB</i>, не содержащую <i>C</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что отношение  <i>AK</i> : <i>BK</i>  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Первая окружность касается сторон угла <i>A</i>, вторая – сторон угла <i>B</i>, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону <i>AB</i> в её середине.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>CF</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> симметричны <i>F</i> относительно медиан <i>AD</i> и <i>BE</i> соответственно.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>BEX</i> и <i>ADY</i> совпадают.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>H</i> и <i>O</i> – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>OB</i> – биссектриса угла <i>A</i>₁<i>OC</i>₁.

Четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = BC</i>  и  <i>AD = CD</i>,  вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на меньшей дуге <i>CD</i> этой окружности. Прямые <i>BM</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>AM</i> и <i>BD</i> – в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PQ || AC</i>.

На окружности радиуса <i>R</i> с диаметром <i>AD</i> и центром <i>O</i> выбраны точки <i>B</i> и <i>С</i> по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> описаны окружности, пересекающие отрезок <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>E</i>. Докажите, что  <i>AF·DE = R</i>².

Дана трапеция <i>ABCD</i> с основанием <i>AD</i>. Центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>BD</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABD</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

На плоскости дан отрезок <i>AB</i>. Рассмотрим всевозможные остроугольные треугольники со стороной <i>AB</i>. Найдите геометрическое место

  а) вершин их наибольших углов;

  б) их центров вписанных окружностей.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник <i>ABC'</i> с углом при вершине 120°, а на стороне <i>AC</i> построен во внутреннюю сторону правильный треугольник <i>ACB'</i>. Точка <i>K</i> – середина отрезка <i>BB'</i>. Найдите углы треугольника <i>KCC'</i>.

Окружность отсекает от прямоугольника <i>ABCD</i> четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых <i>A</i>₀, <i>B</i>₀, <i>C</i>₀ и <i>D</i>₀ соответственно.

Докажите, что отрезки <i>A</i>₀<i>C</i>₀ и <i>B</i>₀<i>D</i>₀ равны.

Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа.