Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 6-11 класса - сложность 2 с решениями

Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?

Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ на ω₁ и ω₂ соответственно таковы, что <i>K</i>₁<i>A</i> касается ω₂, а <i>K</i>₂<i>A</i> касается ω₁. Описанная окружность треугольника <i>K</i>₁<i>BK</i>₂ пересекает вторично прямые <i>AK</i>₁ и <i>AK</i>₂ в точках <i>L</i><sub&...

Дана окружность с центром <i>O</i> и не лежащая на ней точка <i>P</i>. Пусть <i>X</i> – произвольная точка окружности, <i>Y</i> – точка пересечения биссектрисы угла <i>POX</i> и серединного перпендикуляра к отрезку <i>PX</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i> (<i>H</i> лежит между <i>L</i> и <i>B</i>). При этом  <i>ML = LH = HB</i>.

Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> описана окружность и в точке <i>B</i> проведена касательная к ней. Из точки <i>C</i> проведён перпендикуляр <i>CD</i> к этой касательной, также проведены высоты <i>AE</i> и <i>BF</i>. Докажите, что точки <i>D, E, F</i> лежат на одной прямой.

Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°?

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.

В треугольнике провели высоту из одной вершины, биссектрису из другой и медиану из третьей, отметили точки их попарного пересечения, а затем всё, кроме этих отмеченных точек, стерли (три отмеченные точки различны, кроме того, известно, какая является чьим пересечением). Восстановите треугольник.

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.

Найдите углы треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>B</i> = 60°,  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>BL</i> – биссектриса. Описанная окружность треугольника <i>BOL</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> вторично в точке <i>D</i>. Докажите, что  <i>BD</i> ⊥ <i>AC</i>.

Пусть <i>ABCD</i> – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  <i>AC > BD</i>  тогда и только тогда, когда  (<i>AD – BC</i>)(<i>AB – CD</i>) > 0.

Две точки окружности соединили ломаной, длина которой меньше диаметра окружности.

Докажите, что существует диаметр, не пересекающий эту ломаную.

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ касаются внешним образом в точке <i>O</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи <i>O</i>₁<i>X</i> и <i>O</i>₂<i>Y</i> одинаково направлены. Из точки <i>X</i> проведены касательные к Ω₂, а из точки <i>Y</i> – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку <i>O</i>.

Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу.

Пусть <i>AH_a</i> и <i>BH_b</i> – высоты, а <i>AL_a</i> и <i>BL_b</i> – биссектрисы треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>H_aH_b || L_aL_b</i>.  Верно ли, что  <i>AC = BC</i>?

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, а гипотенузы – в точке <i>C</i>₁. Прямые <i>C</i>₁<i>A</i>₁ и <i>C</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀. Докажите, что  <i>AB</i>₀ = <i>BA</i>₀.