Олимпиадные задачи из источника «VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)» для 8 класса - сложность 2 с решениями
VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)
НазадДан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>BC = a</i>, <i>AB = AC = b</i>. На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором
<i>AD = DC = a</i>. Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.
<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что <i>AM = NC</i>. На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что <i>CN = BK</i>. Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> треугольника <i>OBA</i><sub>1</sub> и высоту <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> треугольника <i>OAB</i><sub>1</sub>. Докажите, что отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> параллелен стороне <i>AB</i>.
Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка <i>P</i> внутри него, что сумма расстояний от <i>P</i> до вершин больше периметра четырёхугольника?
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы <i>BB'</i> и <i>CC'</i>, а затем стёрли весь рисунок, кроме точек <i>A, B'</i> и <i>C'</i>.
Восстановите треугольник <i>ABC</i> при помощи циркуля и линейки.
Точка <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> остроугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>N</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>BC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i> и проходящая через точку <i>N</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>. Найдите угол <i>AKC</i>.
Восстановите треугольник <i>ABC</i> по прямым <i>l<sub>b</sub></i> и <i>l<sub>c</sub></i>, содержащим биссектрисы углов <i>B</i> и <i>C</i>, и основанию биссектрисы угла <i>A</i> – точке <i>L</i><sub>1</sub>.
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> биссектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i> обратно пропорциональны противолежащим сторонам. Найдите угол <i>C</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>P</i> – проекция вершины <i>B</i> на серединный перпендикуляр к <i>AC</i>. Прямая <i>PM</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что треугольник <i>QPB</i> равнобедренный.
Окружность с центром <i>I</i> касается сторон <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>. Прямые <i>AI, CI, B</i><sub>1</sub><i>I</i> пересекают <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Докажите, что ∠<i>YB</i><sub>1</sub><i>Z</i> = ∠<i>XB</i><sub>1</sub><i>Z</i>.
Вписанный <i>n</i>-угольник (<i>n</i> > 3) разбит непересекающимися (во внутренних точках) диагоналями на треугольники. Каждый из получившихся треугольников подобен хотя бы одному из остальных. При каких <i>n</i> возможна описанная ситуация?
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M </i>– середина <i>AB</i>, а точка <i>D</i> – основание высоты <i>CD</i>. Докажите, что ∠<i>A</i> = 2∠<i>B</i> тогда и только тогда, когда <i>AC</i> = 2<i>MD</i>.