Олимпиадные задачи из источника «IV Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2008 г.)» для 8-9 класса - сложность 3 с решениями

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = a,  AD = b</i>.  Первая окружность имеет центр в вершине <i>A</i> и проходит через <i>D</i>, вторая имеет центр в <i>C</i> и проходит через <i>D</i>. Произвольная окружность с центром <i>B</i> пересекает первую окружность в точках <i>M</i>₁, <i>N</i>₁, а вторую – в точках <i>M</i>₂, <i>N</i>₂. Чему равно отношение  <i>M</i>₁<i>N</i>₁ : <i>M</i>₂<i>N</i>₂?

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Дан треугольник<i> ABC </i>. Вневписанная окружность касается его стороны<i> BC </i>в точке<i> A₁ </i>и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны<i> AC </i>в точке<i> B₁ </i>. Отрезки<i> AA₁ </i>и<i> BB₁ </i>пересекаются в точке<i> N </i>. На луче<i> AA₁ </i>отметили точку<i> P </i>, такую что<i> AP=NA₁ </i>. Докажите, что точка<i> P </i>лежит на вписанной в треугольник окружности.

Имеется треугольник <i>ABC</i>. На луче <i>BA</i> отложим точку <i>A</i>₁, так что отрезок <i>BA</i>₁ равен <i>BC</i>. На луче <i>CA</i> отложим точку <i>A</i>₂, так что отрезок <i>C</i>₂ равен <i>BC</i>. Аналогично построим точки <i>B</i>₁, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i> <sub&...

Даны четыре точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>. Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через<i> A </i>и<i> B </i>, а другая — через<i> C </i>и<i> D </i>, пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.

Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности с центром<i> I </i>. Докажите, что проекции точек<i> B </i>и<i> D </i>на прямые<i> IA </i>и<i> IC </i>лежат на одной окружности.

Прямые, симметричные диагонали <i>BD</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> относительно биссектрис углов <i>B</i> и <i>D</i>, проходят через середину диагонали <i>AC</i>.

Докажите, что прямые, симметричные диагонали <i>AC</i> относительно биссектрис углов <i>A</i> и <i>C</i>, проходят через середину диагонали <i>BD</i>.

а) Докажите, что при<i> n></i>4любой выпуклый<i> n </i>-угольник можно разрезать на<i> n </i>тупоугольных треугольников.

б) Докажите, что при любом<i> n </i>существует выпуклый<i> n </i>-угольник, который нельзя разрезать меньше, чем на<i> n </i>тупоугольных треугольников.

в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать прямоугольник?

Дана окружность и точка <i>O</i> на ней. Вторая окружность с центром <i>O</i> пересекает первую в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точка <i>C</i> лежит на первой окружности, а прямые <i>CP, CQ</i> вторично пересекают вторую окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что  <i>AB = PQ</i>.

На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке<i> A </i>. Пусть<i> B </i> — произвольная точка одной из этих окружностей,<i> C </i> — другой. Для каждого треугольника<i> ABC </i>рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке<i> K </i>, причем одна окружность касается прямой<i> AB </i>в точке<i> B </i>, а другая — прямой<i> AC </i>в точке<i> C </i>. Найдите ГМТ<i> K </i>.

Постройте квадрат<i> ABCD </i>, если даны его вершина<i> A </i>и расстояния от вершин<i> B </i>и<i> D </i>до фиксированной точки плоскости<i> O </i>.

Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°.

Для данной пары окружностей постройте две концентрические окружности, каждая из которых касается двух данных. Сколько решений имеет задача, в зависимости от расположения окружностей?