Олимпиадная задача по планиметрии: проекции точек в описанном четырехугольнике

Очевидно, что середина отрезка BD равноудалена от проекций точек B и D на любую прямую. Докажем, что она равноудалена и от проекций X , Y точки B на IA и IC .

Так как BXI= BYI=90^o , точки X , Y лежат на окружности с диаметром BI , т.е. серединный перпендикуляр к отрезку XY проходит через середину BI . Таким образом достаточно доказать, что XY ID . Действительно, в этом случае серединный перпендикуляр к XY будет совпадать со средней линией треугольника BDI и, значит, пройдет через середину BD .

Так как точки B , I , X , Y лежат на одной окружности, угол между XY и XA равен углу иежду BY и BI , т.е. BIC-90^o . Следовательно, угол между XY и ID равен AID+ BIC-90^o=90^o .

Ответ задачи отсутствует