Олимпиадная задача по планиметрии и индукции: разрезание n-угольника на тупоугольные треугольники

а) При n > 4у выпуклого n -угольника обязательно есть тупой угол. Диагональ, соединяющая две вершины, соседние с вершиной этого угла, разрезает n -угольник на тупоугольный треугольник и ( n - 1)-угольник. Поэтому, если доказать утвердение задачи для n = 5, то для остальных значений n оно выводится по индукции.

Заметим, что любой треугольник можно разрезать на три тупоугольных треугольника. Действительно, высота, проведенная из наибольшего угла, лежит внутри треугольника. Взяв на этой высоте точку, достаточно близкую к основанию, и соединив ее с вершинами, получим требуемое разрезание. Отсюда следует, что четырехугольник, отличный от прямоугольника, можно разрезать на четыре тупоугольных треугольника.

Рассмотрим теперь пятиугольник ABCDE . Пусть его угол A тупой. Если BCDE  — не прямоугольник, то проведя диагональ BE и разрезав BCDE на четыре тупоугольных треугольника, получим требуемое разрезание. Если же BCDE  — прямоугольник, то углы B и E пятиугольника тупые, т.е ACDE не может быть прямоугольником. Поэтому, проведя диагональ AC и разрезав на четыре треугольника ACDE , опять получим требуемое разрезание.

б) Пусть выпуклый n -угольник разрезан на n-1тупоугольных треугольников. Сумма их углов равна(n-1)π , а сумма углов n -угольника составляет(n-2)π . Поэтому сумма углов треугольников, которые не примыкают к вершинам n -угольника, равна π . Значит, среди них не более одного тупого. Поэтому к вершинам n -угольника примыкает не менее n - 2тупых углов треугольников. К одной вершине выпуклого n -угольника не может примыкать изнутри более одного тупого угла. Значит, n - угольник имеет не менее n - 2тупых углов. Но это верно не для всякого выпуклого n-угольника при любом n 3.

в) Очевидно, что, проведя диагональ и разрезав каждый из образовавшихся треугольников на три тупоугольных, получим разрезание прямоугольника на шесть тупоугольных треугольников. Докажем, что разрезать прямоугольник на меньшее число треугольников нельзя. Предположим, что прямоугольник разрезан на пять тупоугольных треугольников. Тогда, рассуждая, как в п.б), получаем, что сумма углов этих треугольников, не примыкающих к вершинам прямоугольника, равна3π . Если все такие углы расположены в точках на сторонах прямоугольника, то таких точек три и в каждой из них находится не более одной вершины тупого угла. Поскольку в вершинах прямоугольника тупых углов нет, получаем противоречие. Если же некоторые вершины треугольников лежат внутри прямоугольника, то получаем одну внутреннюю точку, в которой сходится не более трех тупых углов, и одну точку на стороне, т.е. общее количество тупых углов не превышает четырех, и опять получаем противоречие. Аналогично доказывается, что прямоугольник нельзя разрезать на четыре тупоугольных треугольника.

Ответ задачи отсутствует