Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8‑9 класса

  Треугольник можно разрезать на три треугольника либо соединив внутреннюю точку с вершинами, либо сначала разрезав его на два прямой, проходящей через вершину, а затем так же разрезав один из полученных треугольников. В первом случае треугольники могут оказаться равными, только если исходный треугольник правильный. Во втором один из треугольников, полученных при первом разрезании должен быть равнобедренным, а второй – прямоугольным, равным "половине" первого. Отрезать же от исходного треугольника прямоугольный можно только одним из следующих трёх способов.

  1) Проведём в исходном треугольнике высоту. Но тогда второй треугольник тоже будет прямоугольным и первый не может быть равен его половине.

  2) Проведём в тупоугольном треугольнике ABC через вершину тупого угла C прямую CD, перпендикулярную BC. Тогда, так как площадь треугольника BCD равна половине площади треугольника ACD, должны выполняться равенства  AD = CD = 2BD,  что невозможно, поскольку BD – гипотенуза треугольника BCD.

  3) Проведём в треугольнике с прямым углом C прямую BD. Тогда аналогично предыдущему случаю получаем, что  AD = BD = 2CD,  и, значит,

∠B = 60°.

Ответ задачи отсутствует