Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение хорд четырех точек A, B, C, D
Задача
Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Решение
Рассмотрим сначала случай, когда точки не лежат на одной прямой. Если, например, C и D лежат по одну сторону от прямой AB , то существует окружность σ , проходящая через C и D и касающаяся AB . Тогда через A и B можно провести окружность достаточно большого радиуса, не пересекающую σ . Следовательно, отрезки AB и CD должны пересекаться. Пусть O — точка пересечения серединных перпендикуляров к этим отрезкам. Две окружности с центром O и радиусами OA и OC либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, точки A , B , C , D лежат на одной окружности. По теореме о радикальных осях трех окружностей общая хорда любых двух окружностей, проходящих через A , B и C , D соответственно, проходит через точку пересечения AB и CD .
Если же все точки лежат на одной прямой, то, очевидно, что отрезки AB и CD пересекаются, а общая хорда окружностей пересекает прямую, на которой лежат точки, в точке P , принадлежащей обоим отрезкам и удовлетворяющей равенству PA· PB=PC· PD . Эти условия определяют точку P однозначно.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь