Олимпиадная задача по планиметрии: точки пересечения в треугольнике ABC для 9-10 классов
Задача
Дан треугольник ABC . Вневписанная окружность касается его стороны BC в точке A1 и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны AC в точке B1 . Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке N . На луче AA1 отметили точку P , такую что AP=NA1 . Докажите, что точка P лежит на вписанной в треугольник окружности.
Решение
Так как точки касания сторон треугольника с вневписанными окружностями симметричны их точкам касания с вписанной окружностью относительно середин сторон, CA1 = p - b , CB1 = p - a , AB1 = BA1 = p - c . Применив теорему Менелая к треугольнику ACA1 и прямой BB1 , получаем, что A1N=AA1 = (p - a)=p . Гомотетия с этим коэффициентом и центром A переведет точку A1 в точку P . Но отношение радиусов вписанной и вневписанной окружностей треугольника тоже равно(p - a)=p , значит образ A1 при этой гомотетии лежит на вписанной окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь