Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 10-11 класса - сложность 2-5 с решениями
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = BC</i>, ∠<i>A</i> = ∠<i>B</i> = 20°, ∠<i>C</i> = 30°. Продолжение стороны <i>AD</i> пересекает <i>BC</i> в точке <i>M</i>, а продолжение стороны <i>CD</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Найдите угол <i>AMN</i>.
Из точки, не лежащей в плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и три наклонные, проекции которых на данную плоскость равны a, b и c. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные образуют с плоскостью углы, сумма которых равна 90°.
Решите систему уравнений:
<i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,
cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.
В кубе <i>АВСDА</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> площадь ортогональной проекции грани <i>АА</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>В</i> на плоскость, перпендикулярную диагонали <i>АС</i><sub>1</sub>, равна 1.
Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.
Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Найдите все простые числа <i>р</i>, для каждого из которых существует такое натуральное число <i>m</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104099/problem_104099_img_2.jpg"> – также натуральное число.
Даны квадратные трёхчлены <i>f</i> и <i>g</i> с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов
равна <i>р</i>. Найдите сумму корней трёхчлена <i>f + g</i>, если известно, что он имеет два корня.
В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104095/problem_104095_img_2.jpg"></div>
Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.
Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите <i>x</i>(<i>t</i>) – зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.
20 шахматистов сыграли турнир в один круг. Корреспондент "Спортивной газеты" написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.
Сравните без помощи калькулятора числа: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.