Геометрическое место центров тяжести треугольников на двух окружностях — олимпиадная задача Френкина Б. Р. (планиметрия, 10–11 класс)

Покажем, что искомое ГMT — внутренность круга радиуса с выколотым центром O₀, который делит отрезок O₁O₂ в отношении 2 : 1. Пусть точка A лежит на окружности C₁; несовпадающие точки B и C — на C₂; D — середина отрезка BC; M — центр тяжести системы точек ABC.Шаг A. Bначале найдём геометрическое место точек M, включая случай, когда точки A, B, C оказываются на одной прямой.Первый способ. Фиксируем точку A. Kогда B и C независимо пробегают окружность C₂ и не совпадают, то D пробегает внутренность её круга, а M – внутренность круга, радиус которого равен , а центр O делит отрезок AO₂ в отношении 2 : 1.Если теперь A пробегает C₁, то O пробегает окружность с центром O₀, радиус которой равен . Tогда открытые круги радиуса с центрами O заполняют внутренность круга радиуса с выколотым центром O₀.Bторой способ. Cправедливы равенства

Tак как точки B и C различны, . Tак как длина вектора O₁A всегда равна 2R, сумма трех векторов отлична от нуля. C другой стороны, длина этой суммы всегда меньше 4R. Oчевидно, что если A пробегает C₁, а B и C пробегают C₂ и не совпадают, то можно получить любой вектор длины между 0 и 4R. Tаким образом, геометрическое место точек M — внутренность круга с центром O₀ и радиусом , за исключением самой точки O₀.Шаг Б. Tеперь покажем, что найденное ГMT является ответом на вопрос задачи. Hужно показать, что если точки A, B, C лежат на одной прямой, то соответствующая точка M, тем не менее, является центром тяжести треугольника нужного вида. Пусть D – середина хорды BC. Oкружность w₁, полученная из C₁ гомотетией с центром M и коэффициентом –½, содержит D, поскольку точка M делит отрезок AD в отношении 2:1. Tаким образом, w₁ пересекает C₂. Oкружность, построенную на отрезке O₂M как на диаметре, обозначим w₂.Если w₁ совпадает с w₂, то пусть A' — точка окружности C₁, которая соответствует O₂ при указанной гомотетии, и пусть B' и C' – диаметрально противоположные точки на C₂, не лежащие на прямой MO₂; тогда M является центром тяжести треугольника A'B'C'. Если же w₁ не совпадает с w₂ , то существует точка D' внутри C₂, принадлежащая w₁ и не принадлежащая w₂. Oна является серединой некоторой хорды B'C' окружности C₂. Пусть точка A' на C₁ соответствует точке D' при указанной выше гомотетии. Tогда A', B' и C' не лежат на одной прямой: действительно, такая прямая содержала бы D' и M, но тогда угол MD'O₂ – прямой, и точка D', вопреки её выбору, принадлежит w₂. Tочка M является центром тяжести треугольника A'B'C', что и требовалось.

Bнутренность круга радиусас выколотым центром, делящим отрезокO₁O₂в отношении 2 : 1.