Олимпиадные задачи из источника «04 (2006 год)» для 10 класса

Даны треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>P, A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁  – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с описанной окружностью треугольника <i>ABC, A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки, симметричные <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно прямых <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub...

Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него. Kасательные к окружности в точках <i>A</i> и <i>C</i> и прямая, симметричная <i>BD</i> относительно точки <i>O</i>, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от <i>O</i> до противоположных сторон четырёхугольника равны.

Hа плоскости даны две окружности <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ и радиусами 2<i>R</i> и <i>R</i> соответственно (<i>O</i>₁<i>O</i>₂ <i>></i> 3<i>R</i>). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на <i>C</i>₁, а две другие — на <i>C</i>₂.

Шесть отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Bерно ли, что из этих отрезков можно составить тетраэдр?

Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.