Олимпиадные задачи из источника «2015/2016» - сложность 3 с решениями

Существует ли многогранник, проекциями которого на три попарно перпендикулярные плоскости являются: треугольник, четырёхугольник и пятиугольник?

Какое наименьшее количество цветов необходимо, чтобы покрасить все вершины, стороны и диагонали выпуклого <i>n</i>-угольника, если должны выполняться два условия:

  1) каждые два отрезка, выходящие из одной вершины должны быть разного цвета;

  2) цвет любой вершины должен отличаться от цвета любого отрезка, выходящего из неё?

В треугольник <i>АВС</i> вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Числа <i>а, b</i> и <i>с</i> лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  <i>a + b + c</i> + 2<i>abc > ab + bc + ca</i> + 2<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65617/problem_65617_img_2.gif">.

Параллелограмм и квадрат расположены так, что вершины квадрата лежат на сторонах параллелограмма (по одной вершине на каждой стороне). Из каждой вершины параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная ближайшей стороне квадрата. Докажите, что точки попарного пересечения этих прямых также являются вершинами квадрата.

Рассматриваются все призмы, в основании которых лежит выпуклый 2015-угольник.

Какое наибольшее количество рёбер такой призмы может пересечь плоскость, не проходящая через её вершины?

У натурального числа <i>n</i> есть такие два различных делителя <i>а</i> и <i>b</i>, что  (<i>а</i> – 1)(<i>b</i> + 2) = <i>n</i> – 2.

Докажите, что число 2<i>n</i> является квадратом натурального числа.

Четырёхугольник <i>АВСD</i> вписан в окружность, <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABD</i>.

Найдите наименьшее значение <i>BD</i>, если  <i>AI = BC = CD</i> = 2.

Алгебраисты придумали новую операцию ❆, которая удовлетворяет условиям:  <i>а</i> ❆ <i>а</i> = 0  и  <i>а</i> ❆ (<i>b</i> ❆ <i>c</i>) = (<i>a</i> ❆ <i>b</i>) + <i>c</i>.  Вычислите  2015 ❆ 2014.  (Знак "+" определяет сложение в обычном смысле, скобки показывают порядок действий.)

На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно.

Докажите, что из отрезков <i>AX, BY</i> и <i>XY</i> можно составить треугольник.

Решите уравнение  2 sin ^π<i>x</i>/₂ – 2 cos π<i>x = x</i>⁵ + 10<i>x</i> – 54.

Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих?

Василиса Премудрая расставляет все натуральные числа от 1 до <i>n</i>², где  <i>n</i> > 1,  в клетки таблицы размером <i>n</i>×<i>n</i>. Кандидат в женихи должен вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была чётной. Всегда ли выполнимо такое задание?

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>АВС</i> (угол <i>С</i> – прямой) касается сторон <i>АВ, ВС</i> и <i>СА</i> в точках <i>С</i>₁, <i>А</i>₁, <i>В</i>₁ соответственно. Высоты треугольника <i>А</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>₁ пересекаются в точке <i>D</i>. Найдите расстояние между точками <i>C</i> и <i>D</i>, если длины катетов треугольника <i>АВС</i> равны 3 и 4.